Laplace Operator, Laplace-Operator, Differentialoperatoren, mehrdimensionalen Analysis | Daniel Jung (Kann 2024)
Laplace-Gleichung, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in der Physik sehr nützlich ist, da ihre Lösungen R (als harmonische Funktionen bekannt) bei Problemen des elektrischen, magnetischen und Gravitationspotentials, der stationären Temperaturen und der Hydrodynamik auftreten. Die Gleichung wurde vom französischen Mathematiker und Astronomen Pierre-Simon Laplace (1749–1827) entdeckt.
Prinzipien der Physik: Divergenz und Laplace-Gleichung
Wenn Ladungen keine isolierten Punkte sind, sondern eine kontinuierliche Verteilung bilden, wobei eine lokale Ladungsdichte ρ das Verhältnis der Ladung δ ist
Die Laplace-Gleichung besagt, dass die Summe der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von R, der unbekannten Funktion, in Bezug auf die kartesischen Koordinaten gleich Null ist:
Die Summe links wird häufig durch den Ausdruck expression 2 R dargestellt, in dem das Symbol ∇ 2 als Laplace- oder Laplace-Operator bezeichnet wird.
Viele physikalische Systeme werden bequemer durch die Verwendung von sphärischen oder zylindrischen Koordinatensystemen beschrieben. Die Laplace-Gleichung kann in diesen Koordinaten neu gefasst werden. In Zylinderkoordinaten lautet die Laplace-Gleichung beispielsweise
